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¿Cómo calcular la distancia entre dos puntos?

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On 30 de enero de 2023
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Cuando empezamos el estudio de la Geometría Analítica, una de las herramientas que nos resulta de gran utilidad es poder calcular la distancia entre dos puntos en el plano. En esta entrada veremos cómo obtener la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos al tiempo que la aplicamos para resolver algunos problemas.

La fórmula de la distancia entre dos puntos

Si tenemos dos puntos en el plano dados por P_1(x_1,y_1) y P_2(x_2,y_2), la longitud del segmento de recta formado por dichos puntos es la distancia entre ellos y la denotamos por \overline{P_1P_2}. Gráficamente lo podemos ver de la siguiente manera:

Distancia entre dos puntos
Distancia entre dos puntos

Ahora, si visualizamos esta gráfica de una manera más profunda, podemos ver que podemos formar un triángulo rectángulo de la siguiente manera:

Distancia entre dos puntos
Triángulo rectángulo




Ahora que tenemos el triángulo rectángulo es posible aplicar el Teorema de Pitágoras. Primero notemos que el cateto horizontal tiene medida x_2-x_1 mientras que el cateto vertical tiene longitud y_2-y_1. Entonces al aplicar el Teorema de Pitágoras tenemos lo siguiente:

    \begin{equation*}(\overline{P_1P_2})^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\end{equation*}

Así, obtenemos la siguiente fórmula_

    \[\overline{P_1P_2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]

Aplicar la fórmula para resolver problemas

A continuación, veremos la forma en la que aplicamos la fórmula que obtuvimos anteriormente para resolver algunos ejercicios.

EJERCICIO 1. Determina la distancia entre los puntos A(-1,4) y B(4,-3).

Primero, tenemos que identificar que:

x_1=-1
y_1=4
x_2=4
y_2=-3

Ahora aplicamos la fórmula y tenemos que la distancia entre A y B está dada por:

    \begin{equation*}\begin{align*}\overline{AB}&=\sqrt{(4-(-1))^2+(-3-4)^2}\\&=\sqrt{(4+1)^2+(-3-4)^2}\\&=\sqrt{(5)^2+(-7)^2}\\&=\sqrt{(25+49}\\&=\sqrt{74}\end{align*}\end{equation*}

Por lo tanto, tenemos que la distancia entre A y B está dada por:

    \[\overline{AB}=\sqrt{74}\]



EJERCICIO 2. Determina el perímetro del triángulo \triangle PQR cuyos vértices están dados por P(5,-2), Q(4,4) y R(1,3).

Distancia entre dos puntos
Triángulo \triangle PQR

Primero, tenemos que determinar la longitud de \overline{PQ}, \overline{PR } y \overline{QR}

Para determinar \overline{PQ}, tenemos que:

    \begin{equation*}\begin{align*}\overline{PQ}&=\sqrt{(4-5)^2+(4-(-2))^2}\\&=\sqrt{(4-5)^2+(4+2)^2}\\&=\sqrt{(-1)^2+(6)^2}\\&=\sqrt{(1+36}\\&=\sqrt{37}\\&\approx 6.082\end{align*}\end{equation*}

Por otro lado, tenemos que la longitud de \overline{PR} la calculamos de la siguiente manera:

    \begin{equation*}\begin{align*}\overline{PR}&=\sqrt{(1-5)^2+(3-(-2))^2}\\&=\sqrt{(1-5)^2+(3+2)^2}\\&=\sqrt{(-4)^2+(5)^2}\\&=\sqrt{(16+25}\\&=\sqrt{41}\\&\approx 6.403\end{align*}\end{equation*}

Por último, tenemos que $\overline{QR} es:

    \begin{equation*}\begin{align*}\overline{QR}&=\sqrt{(1-4)^2+(3-4))^2}\\&=\sqrt{(-3)^2+(-1)^2}\\&=\sqrt{(9+1}\\&=\sqrt{10}\\&\approx 3.162\end{align*}\end{equation*}

Una vez que obtuvimos la longitud de cada uno de los lados del triángulo, podemos determinar el perímetro del triángulo, el cual está dado por la suma de sus lados. Así, tenemos lo siguiente:

    \begin{equation*}\begin{align*}P_{\triangle PQR}=\overline{PQ}+\overline{PR}+\overline{QR}\\&=\sqrt{37}+\sqrt{41}+\sqrt{10}\\&\approx 6.082+6.403+3.162\\&=15.647\end{align*}\end{equation*}


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