Un trinomio cuadrado perfecto (TCP) es una expresión de la forma y es el resultado del desarrollo del binomio . En muchas ocasiones, ante la presencia de trinomios de la forma será conveniente completar el trinomio cuadrado perfecto para lograr encontrar una factorización de la expresión.
Las aplicaciones de esta herramienta se encuentran en la factorización, resolución de ecuaciones de segundo grado y en algunos problemas de la geometría analítica.
Completar el trinomio cuadrado perfecto para factorizar una expresión de la forma
Vamos a partir del trinomio .
De manera general, haremos los siguientes pasos:
- Nos tomamos el coeficiente del término lineal
- Lo dividimos entre dos
- Lo elevamos al cuadrado
- Lo sumamos y restamos a la expresión
- Reagrupamos
- Factorizamos
Notemos que la expresión es un trinomio cuadrado perfecto, ya que lo podemos ver como y cuya factorización es
Por otro lado, tenemos que
Así, tenemos que la expresión la podemos visualizar como
Ahora fijándonos en la expresión , notamos que es una diferencia de cuadrados, resultando
Así, concluimos que
¿Y si tenemos un trinomio de la forma ?
El procedimiento es casi el mismo que en el caso anterior, solo tenemos que factorizar a toda la expresión el término cuadrático para obtener una expresión de la forma .
Por ejemplo, si tenemos el trinomio , hacemos lo siguiente:
- Factorizamos a toda la expresión
- Ahora nos fijamos en la expresión y realizamos los pasos del caso anterior.
· Tomamos el término lineal
· Lo dividimos entre
· Lo elevamos al cuadrado
· Lo sumamos y restamos a la expresión
· Reagrupamos
· Factorizamos
La expresión ya es un TCP, ya que lo podemos ver como y cuya factorización es
Por otro lado, tenemos que
Así, - Ahora, nos fijamos en nuestra expresión original
Por lo tanto, tenemos que
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en el TCP para reducir la fracción 25/36, tanto numerador y denominador deben ser divisibles entre el mismo numero para que no se altere. ¿Por qué al 25 le sacaron 5 y al 36 la sexta?
Hola norma, gracias por exponer tu duda.
Lo que está sucediendo no es una reducción de la fracción, estamos calculando la raíz cuadrada de 25/6, la cual es 5/6
hay 2 errores, el primero es que se les olvidó poner (x-1/6)^2 veces y el segundo es cuando reemplazan 4/6 por 2/3 ahí le cambiaron el signo y por eso cuando igualan las últimas expresiones no se obtiene lo mismo queda x^2 -5x +2 y no lo que queríamos.
Hola Yaritzi, muchas gracias por tus observaciones. Ya están efectuadas las correcciones. Agradecemos mucho tu análisis y tu contribución para mejorar esta entrada. No te pierdas nuestras entradas de blog más actuales.
Saludos
Excelente, me sirvió mucho. Gracias 🙂
Hola Marcelo! Un gusto poder ayudarte 🙂