Binomios conjugados: ¿Cómo desarrollarlos?

Productos Notables: Binomios Conjugados.

En la primera entrada de esta serie de notas sobre productos notables vimos el desarrollo del Binomio al cuadrado. En esta ocasión veremos el desarrollo del producto de binomios cojugados.

Dado el binomio $(a+b)$ definimos a su conjugado como $(a-b)$ y viceversa, el conjugado del binomio $(a-b)$ es el binomio $(a+b)$

Producto de binomios conjugados.

El desarrollo del producto de binomios conjugados sa como resultado una diferencia de cuadrados.

Si desarrollamos el producto de binomios conjugados, tenemos que

$\begin{equation*}\begin{align*}(a+b)(a-b)&=(a)(a)+(a)(-b)+(b)(a)++(b)(-b)\\&=a^2-ab+ab-b^2\end{align*}\end{equation*}$

Con lo cual obtenemos la siguiente fórmula

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Veamos algunos ejemplos del desarrollo de binomios conjugados.

Ejemplos: Desarrolla los siguientes productos

(x+3)(x-3)

Al aplicar la fórmula tenemos lo siguiente

$\begin{equation*}\begin{align*}(x+3)(x-3)&=x^2-3^2\\&=x^2-9\end{align*}\end{equation*}$

Por lo tanto, se obtiene que
$(x+3)(x-3)=x^2-9$
(2x-7)(2x+7)

Al aplicar la fórmula tenemos lo siguiente

$\begin{equation*}\begin{align*}(2x-7b)(2x+7)&=(2x)^2-7^2\\&=4x^2-49\end{align*}\end{equation*}$

Por lo tanto,
$(2x-7)(2x+7)=4x^2-49$
(3x+5)(5-3x)

En este caso en particular, tenemos que notar que el término que cambia de signo es el $3x$ , por lo que en el desarrollo es el que va a ir restando.
Así,

$\begin{equation*}\begin{align*}(3x+5)(5-3x)&=5^2-(3x)^2\\&=25-9x^2\\&=-9x^2+25\end{align*}\end{equation*}$

Por lo tanto,
$(3x+5)(5-3x)=-9x^2+25$

Un caso especial.

Consideremos el siguiente producto entre binomios

$(2m-3)(2m+7)$

En primer lugar, no cumplen con la forma de binomios conjugados. Sin embargo, podemos modificar cada binomio de tal forma que dicho producto luzca como el producto de binomios conjugados.

Notemos que

$2m-3=2m-3+5-5=(2m+2)-5$

Por otro lado

$2m+7=2m+7-5+5=(2m+2)-5$

De esta forma tenemos lo siguiente

$(2m-3)(2m+7)=((2m+2)-5)((2m+2)+5)$

La expresión $((2m+2)-5)((2m+2)+5)$ ya tiene la forma que buscamos, por lo que

$\begin{equation*}\begin{align*}((2m+2)-5)((2m+2)+5)&=(2m+2)^2-5^2\\&=(2m)^2+2(2m)(2)+2^2-25\\&=4m^2+8m+4-25\\&=4m^2+8m-21\end{align*}\end{equation*}$

Por lo tanto

$(2m-3)(2m+7)=4m^2+8m-21$

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